[1] 初暦は、 新年になって新しい暦本を使うことを意味する季語です。
[2] カレンダーといわずに暦と言っていた時代の言葉ですが、 現在でも俳句の世界ではカレンダーや手帳のことで使われるようです。
[3] 東洋の日時表示で稀に初暦と書いて元年を意味することがあるようです。
[4]
年の字として暦
を使うことがありました。 初
を使ったのが「初暦」と考えられます。
[5] 元号 +「初年」というと普通は厳密に第1年のことではなく、初期を表します。 例えば「昭和初年」といえば、普通はわずか数日しかなかった昭和元年のことでなく、 最初の数年間のことを指しています。 「初暦」にはそのような使い方は(おそらく)ありません。
[11] 検索で見つけにくいので、他にも用例はあるかもしれません。 しかし他の書き方ほど一般的ではなさそうです。