[1] Web API は Web に関係する API です。 2つの意味でよく使われています。どちらの意味かは文脈で判断するしかありません。
[2] Webサービスなどの機能を主に JSON、XML などを情報交換形式として使いつつ API の形で提供されるものを Web API といいます。Webサービス、Webアプリケーションなどの類義語ですが、 人間の利用者よりもプログラムからのアクセスが主な目的である点で異なっています。
[3] 人間の利用者が使うWebブラウザ上で動作する JavaScript から呼び出すことを目的としたもの、それ以外の任意のプログラムから呼び出すことを目的としたもの、 その両方を目的としたものがあります。
[8] Webブラウザー以外からのアクセスを主要な用途としている点で、「Web」 とは何かを考えさせられる題材でもあります。 Webアプリケーションの実装のためのエンドポイントに対して 「アプリ向け Web API」のような言い方もするようです。(ネイティブ)アプリが Web の一部ではないのは明らかですが、アプリより外側は Web ということになるのでしょうか。
[4] Webブラウザによって文書に (主に JavaScript に) 提供される API を Web API といいます。DOM も似た意味ですが、本来の DOM は単に文書にアクセスする API を指すのに対し、Web API はそれ以外の API も含めたより広範な意味となっています。 Web API の方が DOM より新しい呼び方として好まれることもあります。
[5] かつては W3C に Web API WG がありましたが、WebApps WG に発展的に改組されています。
[11] Web API WG の設置が。憲章はその前年。
[12] 当時は真新しい言葉だった気がします。
[13] というのもこれは W3C DOM WG が解散して DOM API の開発がストップしてしばらくたったタイミングで、 DOM WG 外で新しく作られた or 提案された API の多くは「DOM」を称してなかったので、 それらを含めて「DOM API」という人と、新たに「Web API」と呼ぶ人が出てきて混在していた、 ということなのだと思います。
[9] 「Web」という言葉の意味を考えれば >>4 の方が「Web API」という語の相応しい意味のような気がしますが、 人口的には >>2 の意味の方が普及しているのかな? >>2 は Web 技術者以外のIT技術者も使うので。
[15] >>2 も >>4 も同じくらいの時期から安定して使われている意味なので、衝突してわかりにくいのは遺憾ながら、 どちらが正しい正しくないというのは適切ではないと思いますよ。
[6] WebAPI - MozillaWiki ( ( 版)) https://wiki.mozilla.org/WebAPI
[7] API Design Principles ( 版) https://w3ctag.github.io/design-principles/