[2] Webアプリケーションにおいて、 URL などの要求に含まれる条件から適切な処理を選択する過程を、 routing と呼び、それを行うソフトウェア部品を router と呼ぶことがあります。
[1] この用語は、サーバー側で動作する WAF における一機能として言及されることが多いですが、 クライアント側の JavaScript の一部分を指す場合もあります。
[4] 単純な条件分岐によるもの、 プログラミング言語のモジュールに機械的に読み替えるもの、 DSL により処理を記述するものなど色々な手法が用いられており、 広く標準と言えるものはありません。 好みや記述対象の性質に応じて適切な方式を選択するべきであると思われます。
[3] ネットワークにおいてパケットを配送するための経路制御とは、 同じ語ではありますが、概念的にも実現方法的にも大きく異なっています。 ネットワークとWebアプリケーションは近い分野にも見えますが、 意外と距離があって混同することはまずありません。