[1] 集合 R が環 (ring) であるとは:

• 2元 a, b に対して演算 + (加算), ・ (掛け算) が定義されている
• a + b ∈ R, ab := a ・ b ∈ R (和, 積に閉じている)
• (∀a, b, c ∈ R) a + b + c := a + (b + c) = (a + b) + c, abc := a ・ b ・ c := a ・ (b ・ c) = (a ・ b) ・ c (結合法則)
• (∀a, b ∈ R) a + b = b + a (和に関する交換法則)
• (∀a ∈ R) a + 0 = a となる 0 ∈ R (零元) が存在する
• (∀a ∈ R) a + xa = 0 となる xa ∈ R (a のマイナス元) が存在
• (∀a, b, c ∈ R) a(b + c) = ab + ac (分配法則)

• [2] 系: 零元は唯一。
• [3] 系: マイナス元は a に対して唯一つ定まる。
• [4] b − a := b + (−a)
• [5] 系: a − a = 0