[1] ハイパーメディアhypermediaは、ハイパーテキストを使った媒体、とりわけ多媒体なものを指すのではないかと思われます。 1990年代後半に使われた言葉で、 HyTime などがありました。

[3] 2010年代中頃から、 JSON API に他のエンドポイントの URL を含めることをハイパー媒体と呼ぶ人達が現れて一部で流行しています。

[2]

ハイパー媒体対象・対応を名乗る技術

HyTime
HATEOAS
- Siren
- Jiron
- Hydra
- UBER
- Mason
- hyper-item
JSON Hyper-Schema
XML Hypermedia

[4]

GitHub API v3 | GitHub Developer Guide (2017-06-10 05:53:45 +09:00) https://developer.github.com/v3/#hypermedia

All resources may have one or more *_url properties linking to other resources. These are meant to provide explicit URLs so that proper API clients don't need to construct URLs on their own. It is highly recommended that API clients use these. Doing so will make future upgrades of the API easier for developers. All URLs are expected to be proper RFC 6570 URI templates.

[5]

Bitbucket API (2017-09-08 17:06:52 +09:00) https://developer.atlassian.com/bitbucket/api/2/reference/meta/cors-hypermedia

Every 2.0 object contains a links element that points to related resources or alternate representations.