[1] 次の条件を満たす[[集合]] [CODE(math)[[VAR[H]]]]
を[[群]] [CODE(math)[[VAR[G]]]] の[[部分群]]といいます。
- [CODE(math)[φ ⊂ [VAR[H]] ⊆ [VAR[G]]]]
- [CODE(math)[(∀[VAR[h]], [VAR[i]] ∈ [VAR[H]]) [VAR[h]][VAR[i]] ∈ [VAR[H]]]]
- [CODE(math)[(∀[VAR[h]] ∈ [VAR[H]]) [VAR[h]][SUP[−1]] ∈ [VAR[H]]]]

-[2] 系 [CODE(math)[[VAR[e]] ∈ [VAR[H]]]]
([CODE(math)[[VAR[e]]]] は[[単位元]])
-[3] 定理 [CODE(math)[[VAR[H]] は部分群 ⇔ (∀[VAR[h]], [VAR[i]] ∈ [VAR[H]]) [VAR[h]][VAR[i]][SUP[−1]] ∈ [VAR[H]]]]
-[4] 群 [CODE(math)[[VAR[G]]]] の[DFN[自明な部分群]]:
[CODE(math)[[VAR[G]]]] および [CODE(math)[{[VAR[e]]}]]
-[5] 定理 部分群は群
-[6] 定理 [[有限巡回群]]の部分群は[[巡回群]]