[3] [[集合]] [CODE(math)[[VAR[G]]]] は、次のすべての条件を満たす時、
[DFN[[RIBYB[群][group]]]]です。

[FIG(list)[
- [1] 任意の2[[元]] [CODE(math)[[VAR[a]]]], [CODE(math)[[VAR[b]]]]
に対して[[演算]] [CODE(math)[・]] ([[掛け算]]) が定まる
- [2] [[積]]に閉じている:
[FIG(math)[
[VAR[a]][VAR[b]] := [VAR[a]]・[VAR[b]] ∈ [VAR[G]]
]FIG]
- [6] [[結合法則]]:
[FIG(math)[
[VAR[a]][VAR[b]][VAR[c]] := ([VAR[a]][VAR[b]])[VAR[c]] = [VAR[a]]([VAR[b]][VAR[c]])
(∀[VAR[c]] ∈ [VAR[G]])
]FIG]
- [7] [[単位元]]の存在:
[FIG(math)[
(∃[VAR[e]] ∈ [VAR[G]]) (∀[VAR[a]] ∈ [VAR[G]]) [VAR[e]][VAR[a]] = [VAR[a]][VAR[e]] = [VAR[a]]
]FIG]
- [8] [[逆元]]の存在:
[FIG(math)[
(∀[VAR[a]] ∈ [VAR[G]]) (∃'''[VAR[a[SUP[−1]]]]''') [VAR[a]]'''[VAR[a[SUP[−1]]]]''' = '''[VAR[a[SUP[−1]]]]'''[VAR[a]] = [VAR[e]]
]FIG]
]FIG]

-[4] 系: 単位元は唯一。
-[5] 系: 逆元は [CODE(math)[[VAR[a]]]] によって一意に定まる。