[1] [[集合]] [CODE(math)[[VAR[R]]]] が[DFN[[RUBYB[環][ring]]]]であるとは:
- 2[[元]] [CODE(math)[[VAR[a]]]], [CODE(matH)[[VAR[b]]]]
に対して[[演算]] [CODE(math)[[[+]]]] ([[加算]]),
[CODE(math)[[[・]]]] ([[掛け算]]) が定義されている
- [CODE(math)[[VAR[a]] + [VAR[b]] ∈ [VAR[R]], [VAR[a]][VAR[b]] := [VAR[a]] ・ [VAR[b]] ∈ [VAR[R]]]]
([[和]], [[積]]に閉じている)
- [CODE(math)[(∀[VAR[a]], [VAR[b]], [VAR[c]] ∈ [VAR[R]]) [VAR[a]] + [VAR[b]] + [VAR[c]] := [VAR[a]] + ([VAR[b]] + [VAR[c]]) = ([VAR[a]] + [VAR[b]]) + [VAR[c]], [VAR[a]][VAR[b]][VAR[c]] := [VAR[a]] ・ [VAR[b]] ・ [VAR[c]] := [VAR[a]] ・ ([VAR[b]] ・ [VAR[c]]) = ([VAR[a]] ・ [VAR[b]]) ・ [VAR[c]]]]
([[結合法則]])
- [CODE(math)[(∀[VAR[a]], [VAR[b]] ∈ [VAR[R]]) [VAR[a]] + [VAR[b]] = [VAR[b]] + [VAR[a]]]]
(和に関する[[交換法則]])
- [CODE(math)[(∀[VAR[a]] ∈ [VAR[R]]) [VAR[a]] + '''0''' = [VAR[a]]]]
となる [CODE(math)['''0''' ∈ [VAR[R]]]] ([[零元]]) が存在する
- [CODE(math)[(∀[VAR[a]] ∈ [VAR[R]]) [VAR[a]] + [VAR[x[SUB[[VAR[a]]]]]] = '''0''']]
となる [CODE(math)[[VAR[x[SUB[[VAR[a]]]]]] ∈ [VAR[R]]]] 
([CODE(math)[[VAR[a]]]] の[[マイナス元]]) が存在
- [CODE(math)[(∀[VAR[a]], [VAR[b]], [VAR[c]] ∈ [VAR[R]]) [VAR[a]]([VAR[b]] + [VAR[c]]) = [VAR[a]][VAR[b]] + [VAR[a]][VAR[c]]]]
([[分配法則]])

- [2] 系: 零元は唯一。
- [3] 系: マイナス元は [CODE(math)[[VAR[a]]]] 
に対して唯一つ定まる。
-[4] [CODE(math)[[VAR[b]] − [VAR[a]] := [VAR[b]] + (−[VAR[a]])]]
- [5] 系: [CODE(math)[[VAR[a]] − [VAR[a]] = '''0''']]